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\title{Hermite多项式简单介绍}
\author{张庆典}
\date{2021年6月23日}
\begin{document}

\maketitle
\newpage
\tableofcontents
\newpage

\section*{前言}
Hermite多项式的一个最主要的特性就是其正交性，该多项式主要用于积分离散，并且在量子力学波函数中得到了广泛应用。在对LBM（Lattice
Boltzmann
Method）的速度空间进行离散时，我们需要借助Hermite多项式，下面我们将对Hermite多项式进行简单介绍。
\par
d维的Hermite多项式的表达式如下:
\begin{equation}
    \boldsymbol{H}^{(n)}(\boldsymbol{x}) =
    {(-1)}^{n}\frac{1}{\omega(\boldsymbol{x})}\boldsymbol{\nabla}^{(n)}\omega(\boldsymbol{x}),\qquad\omega(\boldsymbol{x})
    = \frac{1}{{(2\pi)}^{d/2}}e^{-\boldsymbol{x}^2/2}.
    \label{HermitePolynomials}
\end{equation}
式中，$\omega(\boldsymbol{x})$被称作是权函数（weight
function）或者生成函数（generating
function），$\boldsymbol{H}^{(n)}$以及$\boldsymbol{\nabla}^{(n)}$均为n阶张量（$n
\geq 0$并且是整数），
可写为$H^{(n)}_{\alpha_{1}\dots\alpha_{n}}$、$\nabla^{(n)}_{\alpha_{1}\dots\alpha_{n}}$的形式，
其中\{$\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$\}是从1到d的n个分量，且$\nabla^{(n)}_{\alpha_{1}\dots\alpha_{n}}$的具体表达形式如下：
\begin{equation}
    \nabla^{(n)}_{\alpha_{1}\dots\alpha_{n}} =
    \frac{\partial}{\partial{}x_{\alpha_{1}}}\cdots\frac{\partial}{\partial{}x_{\alpha_{n}}}.
\end{equation}
\par
\section{Hermite多项式的表达形式}
\subsection{一维问题}
对于一维问题来说，公式\eqref{HermitePolynomials}的表达式变为如下形式：
\begin{equation}
    H^{(n)}{(x)}={(-1)}^{n}\frac{1}{\omega(x)}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\omega(x),\qquad\omega(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}
\end{equation}
则
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(0)}(x) &= 1,&H^{(1)}(x) &= x, \\
        H^{(2)}(x) &= x^{2} - 1,&H^{(3)}(x) &= x^{3} - 3x, \\
        H^{(4)}(x) &= x^{4} - 6x^{2} + 3,&H^{(5)}(x) &= x^{5} - 10x^{3} + 15x.
    \end{aligned}
\end{equation}
\par
\subsection{二维问题}
对于二维问题来说，公式\eqref{HermitePolynomials}的表达式变为如下形式：
\begin{equation}
    H^{(n)}{(x,y)}={(-1)}^{n}\frac{1}{\omega(x,y)}\boldsymbol{\nabla}^{(n)}\omega(x,y),\qquad\omega(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-(x^{2}
        + y^{2})/2}
\end{equation}
则
当$n = 0$时，
\begin{equation}
    H^{(0)}(x,y) = 1
\end{equation}
当$n = 1$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(1)}_{x}(x,y) &= x,\\
    H^{(1)}_{y}(x,y) &= y.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 2$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(2)}_{m}(x,y) &= x^{2} - 1, &m&=\{xx\},\\
        H^{(2)}_{m}(x,y) &= xy, &m&=\{xy,yx\},\\
        H^{(2)}_{m}(x,y) &= y^{2} - 1, &m&=\{yy\}.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 3$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(3)}_{m}(x,y) &= x^{3} - 3x,&m&=\{xxx\}\\
        H^{(3)}_{m}(x,y) &= (x^{2} - 1)y,&m&=\{xxy,xyx,yxx\}\\
        H^{(3)}_{m}(x,y) &= (y^{2}-1)x,&m&=\{xyy,yxy,yyx\}\\
        H^{(3)}_{m}(x,y) &= y^{3} - 3y,&m&=\{yyy\}.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 4$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(4)}_{m}(x,y) &= x^{4} - 6x^{2} + 3,&m&=\{xxxx\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y) &= (x^{3} - 3x)y,&m&=\{xxxy,xxyx,xyxx,yxxx\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y) &= (x^{2} - 1)(y^{2} -
        1),&m&=\{xxyy,xyyx,yyxx,xyxy,yxyx,yxxy\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y) &= (y^{3} - 3y)x,&m&=\{xyyy,yxyy,yyxy,yyyx\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y) &= y^{4} - 6y^{2} + 3,&m&=\{yyyy\}.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 5$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(5)}_{m}(x,y) &= x^{5} - 10x^{3} + 15x,&m&=\{xxxxx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y) &= (x^{4} - 6x^{2} +
        3)y,&m&=\{xxxxy,xxxyx,xxyxx,xyxxx,yxxxx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y) &= (x^{3} - 3x)(y^{2} -
        1),&m&=\{xxxyy,xxyyx,xyyxx,yyxxx,xxyxy,\\
           &&&xyxyx,yxyxx,xyxxy,yxxyx,yxxxy\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y) &= (y^{3} - 3y)(x^{2} -
        1),&m&=\{xxyyy,yxxyy,yyxxy,yyyxx,yyxyx,\\
           &&&yxyxy,xyxyy,yxyyx,xyyxy,xyyyx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y) &= (y^{4} - 6y^{2} +
        3)x,&m&=\{xyyyy,yxyyy,yyxyy,yyyxy,yyyyx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y) &= y^{5} - 10y^{3} + 15y,&m&=\{yyyyy\}.
    \end{aligned}
\end{equation}
\subsection{三维问题}
对于三维问题来说，公式\eqref{HermitePolynomials}的表达式变为如下形式：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
    H^{(n)}{(x,y,z)} &= {(-1)}^{n}\frac{1}{\omega(x,y,z)}\boldsymbol{\nabla}^{(n)}\omega(x,y,z),\\
    \omega(x,y,z) &= \frac{1}{{(2\pi)}^{3/2}}e^{-(x^{2} + y^{2} + z^{2})/2}
    \end{aligned}
\end{equation}
则
当$n = 0$时，
\begin{equation}
    H^{(0)}(x,y,z) = 1
\end{equation}
当$n = 1$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(1)}_{x}(x,y,z) &= x,\\
        H^{(1)}_{y}(x,y,z) &= y,\\
        H^{(1)}_{z}(x,y,z) &= z.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 2$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(2)}_{m}(x,y,z) &= x^{2} - 1,&m&=\{xx\},\\
        H^{(2)}_{m}(x,y,z) &= y^{2} - 1,&m&=\{yy\},\\
        H^{(2)}_{m}(x,y,z) &= z^{2} - 1,&m&=\{zz\},\\
        H^{(2)}_{m}(x,y,z) &= xy ,&m&=\{xy,yx\},\\
        H^{(2)}_{m}(x,y,z) &= xz ,&m&=\{xz,zx\},\\
        H^{(2)}_{m}(x,y,z) &= yz,&m&=\{yz,zy\}.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 3$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= x^{3} - 3x,&m&=\{xxx\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= y^{3} - 3y,&m&=\{yyy\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= z^{3} - 3z,&m&=\{zzz\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= (x^{2} - 1)y,&m&=\{xxy,xyx,yxx\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= (x^{2} - 1)z,&m&=\{xxz,xzx,zxx\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= (y^{2}-1)x,&m&=\{xyy,yxy,yyx\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= (z^{2}-1)x,&m&=\{xzz,zxz,zzx\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= (z^{2}-1)y,&m&=\{yzz,zyz,zzy\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= (y^{2}-1)z,&m&=\{yyz,yzy,zyy\},\\
        H^{(3)}_{m}(x,y,z) &= xyz,&m&=\{xyz,xzy,yzx,yxz,zxy,zyx\}.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 4$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= x^{4} - 6x^{2} + 3,&m&=\{xxxx\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= y^{4} - 6y^{2} + 3,&m&=\{yyyy\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= z^{4} - 6z^{2} + 3,&m&=\{zzzz\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (x^{3} - 3x)y,&m&=\{xxxy,xxyx,xyxx,yxxx\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (y^{3} - 3y)x,&m&=\{yyyx,yyxy,yxyy,xyyy\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (x^{2} - 1)(y^{2} -
        1),&m&=\{xxyy,xyyx,yyxx,xyxy,yxyx,yxxy\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (x^{3} - 3x)z,&m&=\{xxxz,xxzx,xzxx,zxxx\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (z^{3} - 3z)x,&m&=\{zzzx,zzxz,zxzz,xzzz\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (x^{2} - 1)(z^{2} -
        1),&m&=\{xxzz,xzzx,zzxx,xzxz,zxzx,zxxz\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (y^{3} - 3y)z,&m&=\{yyyz,yyzy,yzyy,zyyy\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (z^{3} - 3z)y,&m&=\{zzzy,zzyz,zyzz,yzzz\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (y^{2} - 1)(z^{2} -
        1),&m&=\{yyzz,yzzy,zzyy,yzyz,zyzy,zyyz\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (x^{2} -
        1)yz,&m&=\{xxyz,xxzy,xyzx,xzyx,yzxx,zyxx,\\
             &&&xyxz,xzxy,yxzx,zxyx,yxxz,zxxy\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (y^{2} -
        1)xz,&m&=\{yyxz,yyzx,yxzy,yzxy,xzyy,zxyy,\\
             &&&yxyz,yzyx,xyzy,zyxy,xyyz,zyyx\},\\
        H^{(4)}_{m}(x,y,z) &= (z^{2} -
        1)xy,&m&=\{zzxy,zzyx,zxyz,zyxz,xyzz,yxzz,\\
             &&&zxzy,zyzx,xzyz,yzxz,xzzy,yzzx\}.
    \end{aligned}
\end{equation}
当$n = 5$时，
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= x^{5} - 10x^{3} + 15x,&m&=\{xxxxx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= y^{5} - 10y^{3} + 15y,&m&=\{yyyyy\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= z^{5} - 10z^{3} + 15z,&m&=\{zzzzz\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (x^{4} - 6x^{2} +
        3)y,&m&=\{xxxxy,xxxyx,xxyxx,xyxxx,yxxxx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (x^{3} - 3x)(y^{2} -
        1),&m&=\{xxxyy,xxyyx,xyyxx,yyxxx,xxyxy,\\
           &&&xyxyx,yxyxx,xyxxy,yxxyx,yxxxy\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (y^{3} - 3y)(x^{2} -
        1),&m&=\{yyyxx,yyxxy,yxxyy,xxyyy,yyxyx,\\
           &&&yxyxy,xyxyy,yxyyx,xyyxy,xyyyx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (y^{4} - 6y^{2} +
        3)x,&m&=\{yyyyx,yyyxy,yyxyy,yxyyy,xyyyy\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (x^{4} - 6x^{2} +
        3)z,&m&=\{xxxxz,xxxzx,xxzxx,xzxxx,zxxxx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (x^{3} - 3x)(z^{2} -
        1),&m&=\{xxxzz,xxzzx,xzzxx,zzxxx,xxzxz,\\
           &&&xzxzx,zxzxx,xzxxz,zxxzx,zxxxz\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (z^{3} - 3z)(x^{2} -
        1),&m&=\{zzzxx,zzxxz,zxxzz,xxzzz,zzxzx,\\
           &&&zxzxz,xzxzz,zxzzx,xzzxz,xzzzx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (z^{4} - 6z^{2} +
        3)x,&m&=\{zzzzx,zzzxz,zzxzz,zxzzz,xzzzz\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (z^{4} - 6z^{2} +
        3)y,&m&=\{zzzzy,zzzyz,zzyzz,zyzzz,yzzzz\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (z^{3} - 3z)(y^{2} -
        1),&m&=\{zzzyy,zzyyz,zyyzz,yyzzz,zzyzy,\\
           &&&zyzyz,yzyzz,zyzzy,yzzyz,yzzzy\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (y^{3} - 3y)(z^{2} -
        1),&m&=\{yyyzz,yyzzy,yzzyy,zzyyy,yyzyz,\\
           &&&yzyzy,zyzyy,yzyyz,zyyzy,zyyyz\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (y^{4} - 6y^{2} +
        3)z,&m&=\{yyyyz,yyyzy,yyzyy,yzyyy,zyyyy\},\\
        %三个x，1个y，一个z等情况
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (x^{3} -
        3x)yz,&m&=\{xxxyz,xxxzy,xxyzx,xxzyx,xyzxx,\\
              &&&xzyxx,yzxxx,zyxxx,xxyxz,xxzxy,\\
              &&&xyxzx,xzxyx,yxzxx,zxyxx,xyxxz,\\
              &&&xzxxy,yxxzx,zxxyx,yxxxz,zxxxy\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (y^{3} -
        3y)xz,&m&=\{yyyxz,yyyzx,yyxzy,yyzxy,yxzyy,\\
              &&&yzxyy,xzyyy,zxyyy,yyxyz,yyzyx,\\
              &&&yxyzy,yzyxy,xyzyy,zyxyy,yxyyz,\\
              &&&yzyyx,xyyzy,zyyxy,xyyyz,zyyyx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (z^{3} -
        3z)yx,&m&=\{zzzyx,zzzxy,zzyxz,zzxyz,zyxzz,\\
              &&&zxyzz,yxzzz,xyzzz,zzyzx,zzxzy,\\
              &&&zyzxz,zxzyz,yzxzz,xzyzz,zyzzx,\\
              &&&zxzzy,yzzxz,xzzyz,yzzzx,xzzzy\},\\
    \end{aligned}\notag
\end{equation}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        %两个x，两个y，一个z等情况
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (x^{2} -
        1)(y^{2} -
        1)z,&m&=\{xxyyz,xxyzy,xxzyy,xyxyz,xyxzy,\\
            &&&xzxyy,xyyxz,xyzxy,xzyxy,xyyzx,\\
            &&&xyzyx,xzyyx,yxxyz,yxxzy,zxxyy,\\
            &&&yxyxz,yxzxy,zxyxy,yxyzx,yxzyx,\\
            &&&zxyyx,yyxxz,yzxxy,zyxxy,yyxzx,\\
            &&&yzxyx,zyxyx,yyzxx,yzyxx,zyyxx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (x^{2} -
        1)(z^{2} -
        1)y,&m&=\{xxzzy,xxzyz,xxyzz,xzxzy,xzxyz,\\
            &&&xyxzz,xzzxy,xzyxz,xyzxz,xzzyx,\\
            &&&xzyzx,xyzzx,zxxzy,zxxyz,yxxzz,\\
            &&&zxzxy,zxyxz,yxzxz,zxzyx,zxyzx,\\
            &&&yxzzx,zzxxy,zyxxz,yzxxz,zzxyx,\\
            &&&zyxzx,yzxzx,zzyxx,zyzxx,yzzxx\},\\
        H^{(5)}_{m}(x,y,z) &= (y^{2} -
        1)(z^{2} -
        1)x,&m&=\{yyzzx,yyzxz,yyxzz,yzyzx,yzyxz,\\
            &&&yxyzz,yzzyx,yzxyz,yxzyz,yzzxy,\\
            &&&yzxzy,yxzzy,zyyzx,zyyxz,xyyzz,\\
            &&&zyzyx,zyxyz,xyzyz,zyzxy,zyxzy,\\
            &&&xyzzy,zzyyx,zxyyz,xzyyz,zzyxy,\\
            &&&zxyzy,xzyzy,zzxyy,zxzyy,xzzyy\}.
    \end{aligned} 
\end{equation}
\newpage
\section{Hermite多项式的正交性}
Hermite多项式的正交性主要体现在下面的式子中，d维的Hermite多项式正交性的表达式如下：
\begin{equation}
    \int{\omega(\boldsymbol{x})H^{(n)}_{\boldsymbol{\alpha}}{(\boldsymbol{x})}H^{(m)}_{\boldsymbol{\beta}}{(\boldsymbol{x})}d^{d}x}
    =
    \prod^{d}_{i=1}{n_{i}!\delta_{nm}^{(2)}\delta^{(n+m)}_{\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}}}.
\end{equation}
式中，$\delta^{(n+m)}_{\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}}$是广义的Kronecker符号，只有当
$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n})$是$\boldsymbol{\beta}=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m})$的一种排列组合时才等于1，否则等于0.
$n_{i}$是$\boldsymbol{\alpha}$中每个分量的个数，例如，当$\boldsymbol{\alpha} =
(x,x,y,z)$时，$n_{x}=2,n_{y}=n_{z}=1$.
\par
任意一个连续函数$f(\boldsymbol{x})\in
\boldsymbol{\mathbb{R}}$都可以通过一系列的Hermite多项式组合获得，表达式如下：
\begin{equation}
    f(\boldsymbol{x})=\omega(\boldsymbol{x})\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}\boldsymbol{a}^{(n)}\cdot\boldsymbol{H}^{(n)}(\boldsymbol{x}),\quad
    \boldsymbol{a}^{(n)} =
    \int{f(\boldsymbol{x})\boldsymbol{H}^{(n)}(\boldsymbol{x})d^{d}x}.
\end{equation}
式中，$\boldsymbol{a}^{(n)}$是n阶张量，式中的“$\cdot$”表示的是张量乘法，即各项相乘之后相加。
\end{document}
